반복 곱셈’에 의한 폭발적인 증가

지수를 이용한 재미있는 계산을 소개한다. 옛날에 어떤 지혜로운 사람이 임금으로부터 ‘어떤 상을 받기를 원하는가?’라는 말을 듣고, ‘첫날은 1알, 2일째는 2일, 3일째는 4일, 4일째는 8알… 이런 식으로 1알에서 시작해 30일 동안 매일, 전날의 2배의 쌀알을 주십시오.’라고 대답했다.

이 말을 들은 임금은 ‘참으로 소박한 청’이라고 생각하고는 즉각 허락했다. 그런데 30일에 가까워지면서 임금은 자신이 엄청난 일을 저질렀다는 사실을 알게 되었다. 놀랍게도 30일째는 5억3687만 912일(122알)의 쌀을 주게 된 것이다. 이것은 쌀가마로 200가마나 되는 양이다. 그리고 그로부터 10일만 더 지나면 놀랍게도 5497억 5581만 3888(1×2^39, 20만 가마 정도)이 된다.

이처럼 지수로 표현되는 ‘반복 곱셈은 상상을 초월하는 폭발력을 가지고 있다. 급격한 증가를 ‘지수 함수적인 증가’라고 표현하는 것도 이해가 된다. 이 쌀알의 이야기처럼 같은 수(쌀알의 경우는 2)를 반복해 곱하는 계산은 다양한 장면에서 등장한다. 예컨대 세균이 ‘세포 분열’로 늘어나는 경우에도 세균의 수를 구하는 계산은 반복곱셈(이 경우도 곱하는 것은 2)이 된다. 반복 곱셈이야말로 지수와 로그의 본질이다.

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