원제: The Language of Mathematics (1998)

수학자들이 하는 일은 추상적인 ‘패턴’을 탐구하는 것이다. … 패턴의 다양한 종류에 따라 다양한 수학 분야들이 생겨난다.

- 산술학과 수 이론은 수와 셈의 패턴을 연구한다.
- 기하학은 모양의 패턴을 연구한다.
- 미적분학은 운동의 패턴을 다룰 수 있게 한다.
- 논리학은 추론의 패턴을 연구한다.
- 확률 이론은 우연의 패턴을 다룬다.
- 위상학은 근처에 있음과 위치의 패턴을 연구한다. – 12

실재의 다양한 측면들은 기술하려면 각 측면에 맞는 기술 형식이 필요하다. … 지형을 연구하거나 누군가에게 시내에서 길을 찾는 방법을 설명할 때 가장 적당한 방법은 지도를 그리는 것이다. 상대적으로 글은 훨씬 부적합하다. … 건물의 구조를 보는 가장 적합한 방법은 선을 그어 설계도를 그리는 것이다. … 음악을 전달하기 위해 가장 적합한 방법은 악보이다. – 13

음악은 인쇄된 종이에 있는 것이 아니라 우리의 정신 속에 있다. 수학도 마찬가지다. 종이 위에 있는 기호들은 수학의 표상일 뿐이다. 능력 있는 연주자가(수학을 공부한 사람이) 읽을 때 인쇄된 기호들은 살아난다. – 15

“수학은 비가시적인 것을 가시화한다.” … 공간의 곡률을 알면 우리는 수학을 써서 우주가 멸망하는 날에 이르기까지 미래를 볼 수 있을 것이다. 우리는 이미 수학을 써서 먼 과거로 거슬러 올라가 소위 빅뱅이라는 사건을 통해 우주가 처음 생겨난 시기의 비가시적 순간들을 가시화했다. … 전파를 ‘보기’ 위해서는 수학을 써야 한다. 비가시적인 전파를 볼 수 있게 해주는 것은 19세기 말에 발견된 맥스웰 방정식이다. … 촘스키는 우리가 문법적 문장으로 인지하는 단어들의 비가시적 추상적 패턴을 ‘보고’ 기술하기 위해 수학을 사용했다. 이를 통해 그는 언어학을 인류학의 매우 불분명한 한 갈래에서 활발한 수학적 과학으로 바꾸어놓았다. – 23

논리의 패턴을 대수학에서의 패턴으로 번역하는 과정에서 패턴이 내적으로 변화하는 것은 아니다. 그러나 그 번역을 통해 사람들이 그 패턴을 생각하는 방식이 변화한다. 한 틀에서는 어렵고 부자연스러운 것이 다른 틀에서는 쉽고 자연스러울 수 있다. – 104

결정적인 것은 무한급수가 유한한 값을 가질 수 있다는 사실이다. 제논의 수수께끼는, 무한급수가 무한한 값을 가져야 한다고 생각하는 사람에게만 역설이 된다. – 165

수학자들이 음수를 불신한 이유는 주로, 수가 항상 양의 크기인 길이나 면적을 나타낸다는 그리스적 생각의 영향 때문이었다. 18세기에 이르기까지 음수는 참된 수로 간주되지 않았다. – 208

그러나 유리수나 실수와는 달리 복소수에는 순서가 없다. 다시 말하면 복소수와 관련해서는 ‘더 크다’에 해당하는 자연스러운 개념이 없다. 유리수나 실수가 직선 위의 점이 것과는 달리, 복소수는 복소평면 위의 점이다. – 209

수학자들은 아름다운 수학에 절대로 등을 돌리지 않는다. 심지어 그 아름다운 수학이 그들의 과거 경험 전체를 짓밟는다 할지라도 말이다. – 215

지도를 만드는 탐험가나 집을 지으려 하는 목수에게 유클리드 기하학은 유용한 모양의 패턴들을 제공한다. 지구를 일주하는 뱃사람이나 비행기 조종사에게는 구면 기하학이 적당한 틀이다. 천문학자에게는 리만 기하학이나 쌍곡선 기하학의 패턴들이 중요할 것이다. 어떤 기하학이 적당한지의 문제는, 당신이 무엇을 하려 하는지, 그리고 그것을 어떻게 하려 하는지에 달려 있다. – 269

레오나르도와 뒤러가 채택한 핵심적인 생각은 그림의 표면을 창으로 간주하는 것이었다. 화가는 그릴 대상들을 그 창을 통해서 본다. – 269

갈로아는 주어진 다항방정식이 제곱근 구하기 방법으로 풀리는 방정식인지 여부를 결정하는 방법을 찾으려 했다. … 갈로아는 방정식이 제곱근 구하기로 풀릴 수 있는지 여부는, 방정식의 대칭성에 의해서, 또한 특히 그 대칭성들의 군에 의해서 결정됨을 발견했다. – 304

로렌츠 제안에 함축된 것 중 하나는 물체의 질량이 운동 속도에 따라 증가한다는 것이다. 로렌츠의 수학적 분석에 의해 예견된 질량 증가는 낮은 속도에서는 감지할 수 없을 만큼 미세하지만, 속도가 광속에 가까워지면 훨씬 커진다. 방사성 물질이 붕괴할 때 높은 속도로 방출되는 배타 입자의 질량 증가가 … 측정되었다. 측정된 증가량은 로렌츠가 예견한 양과 완벽하게 일치했다. – 477

양자 이론을 사유의 근본적인 틀로 받아들이면, 공간을 차지하는 물질적인 입자의 개념은 사라진다. 입자가 사라진 자리를 대신하는 것은, 공간 속 어디에나 있는 근본적인 연속적 매질, 즉 양자장이다. 입자들은 단지 양자장 속에 있는 국지적으로 밀도가 높은 구역 – 에너지가 집중된 구역 – 일 뿐이다. – 497