위상 수학은 쉽게 설명할 수 있지만 동시에 적절하게 음미하기는 매우 어려운 수학 분야이다. 간단히 설명하면 위상 수학은 연속 변환에 의해 변하지 않는 기하학적 성질을 연구한다. 직관적 수준에서(‘위상 변환’ 이라고도 부르는) ‘연속 변환’은 대상을 구부리고 늘리고 누르고 비트는 조작 또는 이런 조작들의 임의의 결합으로 생각할 수 있으며, 변형되는(또는 ‘변환되는’ 대상은 더할 나위 없이 탄력적이어서 이런 조작을 모두 견딜 수 있다고 가정한다. 조건은 변환 전에 서로 가까이 있던 대상의 점들은 변환된 대상에서도 서로 가까이 있어야 한다는 것이다. 적절히 공식화되면 (이것은 결코 쉽지 않은데), 처음에 느꼈던 것과는 달리, 이 요구 조건은 임의로 늘릴 수 있는 대상의 개념과 모순되지 않는다. 이것은 대상을 임의로 자르고 찢고 붙이는 조작을 허용하지 않는다. 적어도 일반적으로는 다음과 같이 말할 수 있다. 어떤 조작을 허용하기 위해서 대상을 자를 수 있는데, 이경우 처음에 서로 가까이 있던 점들이 다시 서로 가까이 있도록 잘린 모서리를 서로 붙여야 한다(그렇지 않으면 불가능하다). 예를 들면… 서로 맞물린 두 고리 중 하나를 끊어서 다른 고리로부터 분리시킨 다음에 다시 서로 붙이는 조작이 가능하다. 그래서 위의 두 대상은 서로 다른 것으로 변환될 수 있기 때문에, 이것들을 ‘위상적으로 동치’라고 한다. – 294