해설 영상에서 설명이 부족한 부분이나, 참조 자료들을 여기에 정리해둡니다.

** 에우클레이데스가 깨달은 “소수의 무한성”

소수는 모두 몇 개인가? 이 질문은 기원전 3세기에 유클리드가 제기했으며, 답은 그가 쓴 『원론』의 ‘명제 20′에 들어 있다. 즉 무한히 많은 소수가 존재한다는 것. 이 명제에 대한 유클리드의 중명은 아마도 수학 역사상 최초의 진실로 아름다운 추론이다. 단 하나의 문장에 담을 수 있는 증명은 다음과 같다. 만약 소수의 개수가 유한하다면, 그 모든 소수를 곱한 다음에 1을 더하면 임의의 소수로 결코 나눌수 없는 새로운 수가 나올 것인데, 이는 가정에 반하므로 불가능하다. (이 새로운 수를 소수들의 유한한 목록에 있는 임의의 수로 나누면 1이 남는다. 따라서 그 수는 소수이거나, 아니면 원래 목록에 없는 어떤 수로 나눠질 것이다. 두 경우 모두 원래의 유한한 소수 목록은 불완전함이 틀림없다. 따라서 어떤 유한한 목록도 모든 소수를 포함할 수 없다.그러므로 소수의 개수는 무한함이 틀림없다.)

- 짐 홀트, <아인슈타인이 괴델과 함께 걸을 때>, p. 69

추후 페르마와 오일러가 다른 방식으로 소수의 무한성을 증명했다.

** 제타 함수

오일러는 자연수들이 각각 분모에 들어가 있는 형태의 급수인 제타 함수를 고안했는데, 소수들의 무한한 곱으로 다시 표현 가능하다는 점을 알았다. (오일러곱)

** 제로점(영점)

무작위성의 환영 속을 꿰뚫어본 사람은 리만이었다. 1859년 10쪽분량도 안 되는 논문에서 그는 소수의 불가사의를 간파한 일련의 내용을 발표했다. 우선 제타 함수에서부터 시작했다. 오일러는 이 함수가 오직 ‘실수’ 값의 범위를 갖는다고 보았다. (직선상의 점들에 대응하는실수는 양의 수와 음의 수를 포함하는 정수, 분수로 표현할 수 있는 유리수, 그리고 나처럼 순환하지 않는 무한소수로 표현되는 무리수로 구성된다.) 하지만 리만은 오일러를 뛰어넘는 모험을 감행하여 제타 함수가 복소수를 가지도록 확장시켰다. 복소수는 ‘실수’ 부분과 ‘허수’ 부분이라는 상이한 두 부분으로 이루어진다. … 복소수는 두 부분을 가지므로 두 개의 차원이라고 여길 수 있다. 즉 실수처럼) 직선을 형성하지 않고 평면을 형성한다. 리만은 제타 함수를 이 복소평면상으로 확장시키기로 했다. 그가 밝힌 바에 의하면 복소평면의 모든 점 각각에서 제타 함수는 하나의 고도를 결정한다. 그러므로 제타 함수는 모든 방향으로 영원히 뻗어 있는 산, 언덕, 그리고 계곡들로 이루어진하나의 방대한 추상적 풍경 – 제타 풍경을 발생시킨다. 그의 발견에 따르면 제타 풍경에서 가장 흥미로운 점들은 0의 고도를 갖는 점들, 즉 해수면의 점들이다. 이 점들을 가리켜 제타 함수의 영점zero이라고 한다. 왜냐하면 이 점에 대응되는 복소수를 제타 함수에 대입하면 결과값이 0이 나오기 때문이다.

- 짐 홀트, <아인슈타인이 괴델과 함께 걸을 때>, p. 74